Simplex-menetelmän laskin

Mikä on Simplex-menetelmä?

Simplex-menetelmä on matemaattinen algoritmi, jota käytetään lineaaristen ohjelmointiongelmien ratkaisemiseen. Se on tehokas tekniikka lineaarisen tavoitefunktion optimointiin, ottaen huomioon joukko lineaarisia epätasa-arvo- tai tasa-arvorajoituksia. Menetelmä löytää optimaalisen ratkaisun iteroimalla toteuttamiskelpoisia ratkaisuja toteuttamiskelpoisen alueen huipuille, kunnes saavutetaan paras arvo tavoitefunktiolle.

Lineaariset ohjelmointiongelmat ilmenevät usein todellisissa tilanteissa, kuten resurssien jakamisessa, tuotannon aikataulutuksessa, kuljetuksessa ja rahoituksessa. Simplex-menetelmä tarjoaa järjestelmällisen lähestymistavan näiden ongelmien tehokkaaseen ratkaisemiseen.

Simplex-menetelmän laskimen ominaisuudet

• Mahdollistaa käyttäjien syöttää lineaarisen tavoitefunktion (esim. 3x_1 + 4x_2).
• Tukee epätasa-arvo- ja tasa-arvorajoituksia vaihtoehdoilla ≤, = ja ≥.
• Mahdollistaa käyttäjien valita maksimoimisen ja minimoimisen tavoitteiden välillä.
• Tarjoaa kaksi ratkaisumenetelmää: Big M -menetelmä ja Kaksivaiheinen menetelmä.
• Näyttää vaiheittaiset laskelmat, mukaan lukien välikuvastot ja lopullinen kuvasto.
• Visualisoi toteuttamiskelpoisen alueen ja optimaalisen ratkaisun 2D-ongelmille.

Kuinka käyttää Simplex-menetelmän laskinta

1. Syötä tavoitefunktio annettuun kenttään (esim. 3x_1 + 4x_2).
2. Määritä, onko ongelma maksimoiminen vai minimoiminen tarkistamalla tai poistamalla "Maksimoi?" -ruudun valinta.
3. Syötä rajoitukset lineaaristen epätasa-arvojen tai tasa-arvojen muodossa. Esimerkiksi:
   • 2x_1 + x_2 ≤ 100
   • x_1 + 2x_2 = 80
   Käytä "+ Lisää rajoitus" -painiketta lisätäksesi lisärajoituksia.
4. Valitse ratkaisumenetelmä (Big M -menetelmä tai Kaksivaiheinen menetelmä) pudotusvalikosta.
5. Napsauta "Laske" ratkaistaksesi ongelman. Tulokset, mukaan lukien optimaalinen ratkaisu, lopullinen kuvasto ja visualisointi, näytetään.
6. Jos haluat nollata kentät ja aloittaa alusta, napsauta "Tyhjennä" -painiketta.

Esimerkkikäyttö

Tavoite: Maksimoi \(3x_1 + 4x_2\)

Rajoitukset:

• \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
• \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
• \(x_1, x_2 ≥ 0\)

Vaiheet:

• Muuta epätasa-arvot tasa-arvoiksi lisäämällä liukuvaihtoehtoja \(s_1\) ja \(s_2\).
• Aseta alkuperäinen simplex-kuvasto muuttujien ja rajoitusten kertoimilla.
• Ratkaise kuvasto iteratiivisesti pivotoinnin avulla, kunnes optimaalinen ratkaisu saavutetaan.
• Lopullinen ratkaisu näytetään yhdessä tavoitefunktion maksimiarvon kanssa.

Tulos: \(x_1 = 20\), \(x_2 = 30\), ja maksimiarvo on \(180\).

Usein kysytyt kysymykset

• Mikä on lineaarinen ohjelmointi?
  Lineaarinen ohjelmointi on matemaattinen menetelmä, jota käytetään parhaan mahdollisen tuloksen (kuten maksimaalisen voiton tai minimaalisen kustannuksen) määrittämiseen tietyssä matemaattisessa mallissa, jossa suhteet ovat lineaarisia.
• Mitä ovat Big M -menetelmä ja Kaksivaiheinen menetelmä?
  Big M -menetelmä lisää keinotekoisia muuttujia suurilla rangaistuksilla (merkittynä \(M\)), jotta toteuttamiskelpoisuus varmistuu, kun taas Kaksivaiheinen menetelmä ratkaisee ongelman kahdessa vaiheessa: ensin löytämällä toteuttamiskelpoisen ratkaisun ja sitten optimoimalla tavoitefunktion.
• Mitä "maksimoi" valintaruutu tekee?
  Tämän ruudun valitseminen ratkaisee ongelman maksimoimisena ongelmana. Jos se jätetään valitsematta, laskin olettaa minimoimisongelman.
• Voiko laskin käsitellä ei-lineaarisia ongelmia?
  Ei, laskin on suunniteltu erityisesti lineaaristen ohjelmointiongelmien ratkaisemiseen, joissa sekä tavoitefunktio että rajoitukset ovat lineaarisia.
• Mitä tapahtuu, jos ongelma on rajaton?
  Jos ratkaisu on rajaton, laskin näyttää viestin, joka ilmoittaa, että ongelmalla ei ole rajallista optimaalista ratkaisua.

Simplex-menetelmän laskimen käytön edut

• Säästää aikaa automatisoimalla tylsiä manuaalisia laskelmia.
• Tarjoaa vaiheittaisen erittelyn, mikä tekee siitä arvokkaan oppimisvälineen opiskelijoille.
• Visualisoi toteuttamiskelpoisia alueita ja ratkaisuja paremman ymmärryksen saavuttamiseksi.
• Käsittelee monimutkaisia ongelmia tehokkaasti useilla rajoituksilla ja muuttujilla.