SVD-laskin

Kategoria: Lineaarialgebra
- elokuu 06, 2025
| |

Laske matriisin Singular Value Decomposition (SVD). SVD hajottaa matriisin kolmeen komponenttiin: U, Σ ja V*. Tällä hajotuksella on lukuisia sovelluksia tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä, kuvapakkauksessa ja muussa.

Matriisi Syöttö

Näyttöasetukset

Tietoa Singular Value Decompositionista

Singular Value Decomposition (SVD) on faktorisointitekniikka, joka hajottaa matriisin A kolmeen matriisiin: U, Σ ja V*. Sillä on laajat sovellukset datatieteessä, signaalinkäsittelyssä ja lineaarisessa algebrassa.

Matemaattinen Määritelmä

m×n matriisille A, SVD on:

A = UΣV*

missä:

  • U on m×m ortogonaalinen matriisi (U*U = I)
  • Σ on m×n diagonaalimatriisi, jossa on ei-negatiivisia singular arvoja
  • V* on n×n ortogonaalisen matriisin V konjugoitunut transpoosi (V*V = I)
SVD:n Sovellukset
  • Dimensioiden Vähentäminen: Pääkomponenttianalyysi (PCA)
  • Kuvan Pakkauksen: Tallennustilan vähentäminen samalla kun säilytetään kuvan laatu
  • Datankäsittely: Melun vähentäminen ja ominaisuuksien erottaminen
  • Suositusjärjestelmät: Yhteistyöpohjainen suodatus suosituksille
  • Pseudoinversio Laskenta: Ratkaisujen löytäminen huonosti ehdollisille järjestelmille
  • Signaalinkäsittely: Suodatus ja melun poistaminen
SVD:n Ominaisuudet
  • Singular arvot ovat ainutlaatuisia ja järjestetty laskevaan järjestykseen
  • Ei-nolla singular arvojen määrä on yhtä suuri kuin matriisin rang
  • Ehto numero on suurimman ja pienimmän singular arvon suhde
  • SVD:tä voidaan käyttää pseudoinversioiden laskemiseen A⁺ = VΣ⁺U*
  • SVD on numeerisesti vakaa laskennassa

Singulaarinen arvodekompositio kaava:

A = UΣV*

Missä:

  • U = vasemman singulaarivektorin matriisi
  • Σ = singulaaristen arvojen diagonaalimatriisi
  • V* = oikean singulaarivektorin matriisin transpoosi

What Is the SVD Calculator?

Singulaarinen arvodekompositio (SVD) -laskin on verkkopohjainen työkalu, joka jakaa minkä tahansa matriisin kolmeen peruskomponenttiin: U, Σ (Sigma) ja V*. Tätä prosessia käytetään laajalti lineaarisessa algebrassa sovelluksissa, kuten datan pakkaamisessa, signaalin suodattamisessa ja yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa.

SVD-laskimen avulla voit nopeasti analysoida matriisin rakennetta, ymmärtää sen ulottuvuusominaisuuksia ja laskea keskeisiä arvoja, kuten ehdollista numeroa, rangia ja pseudoinversiota.

Why Use This Calculator?

Tämä työkalu auttaa sinua:

  • Jakamaan matriisin U:ksi, Σ:ksi ja V*:ksi syvempää analyysiä varten
  • Ymmärtämään matriisisi käyttäytymistä sen singulaaristen arvojen kautta
  • Tutkimaan ominaisuuksia, kuten matriisin rangia, ehdollista numeroa ja Frobenius-normia
  • Vahvistamaan hajotuksen tarkkuutta
  • Laskemaan Moore-Penrose pseudoinversio välittömästi

Jos työskentelet kuvadataan, tilastoihin tai lineaaristen järjestelmien ratkaisemiseen liittyen, tämä laskin antaa sinulle tarvittavan hajotuksen. Se täydentää muita työkaluja, kuten LU-hajotuslaskinta, Pseudoinversiolaskinta ja Matriisin käänteislaskinta, keskittyen erityisesti singulaarisen arvon analyysiin.

How to Use the SVD Calculator

Seuraa näitä yksinkertaisia vaiheita:

  1. Valitse matriisisi rivien ja sarakkeiden määrä.
  2. Napsauta “Luo matriisi” luodaksesi syöttökentät.
  3. Syötä matriisiarvosi kenttiin.
  4. Valitse näyttöasetukset, kuten desimaalitarkkuus ja haluatko näyttää vaiheittaiset selitykset.
  5. Napsauta “Laske SVD” käsitelläksesi matriisia.
  6. Tarkista tuloksena olevat U, Σ ja V* -matriisit sekä johdetut arvot, kuten pseudoinversio ja ehdollinen numero.

Voit myös ladata esimerkkimatriisin käyttämällä “Lataa esimerkki” -painiketta nähdäksesi, miten se toimii heti.

Benefits of Using SVD

SVD:tä käytetään monilla aloilla ja sillä on käytännön etuja:

  • Datan pakkaaminen: Vähennä datan kokoa menettämättä olennaisia ominaisuuksia
  • Melun vähentäminen: Poista pieniä komponentteja signaaleista tai tietoaineistoista
  • Koneoppiminen: Paranna algoritmin suorituskykyä ulottuvuuden vähentämisen avulla
  • Matriisiratkaisut: Laske pseudoinversio, kun normaalia käänteistä ei ole olemassa
  • Kuvankäsittely: Pakkaa ja rakenna kuvia tehokkaasti

Tämä työkalu on erityisen hyödyllinen yhdessä matriinityökalujen, kuten QR-hajotuslaskimen, Gauss-Jordan eliminointilaskimen ja Diagonaalimatriisilaskimen kanssa.

Frequently Asked Questions (FAQ)

  • What size matrix can I input?
    Voit syöttää matriiseja koosta 1×1 aina 10×10:een.
  • What if my matrix has very small values?
    Laskin korostaa lähes nollan arvoja auttaakseen sinua keskittymään merkittäviin tuloksiin.
  • Can I see how the SVD is calculated?
    Kyllä! Ota käyttöön “Näytä selitys” -vaihtoehto nähdäksesi vaiheittaisen hajotuksen.
  • Is this tool useful for learning?
    Ehdottomasti. Visuaalinen hajotus ja laskentavaiheet tekevät siitä erinomaisen oppimisavun opiskelijoille ja opettajille.
  • How is this different from other matrix tools?
    Vaikka Matriisin käänteislaskin ja LU-matriisihajotus keskittyvät suoriin ratkaisuihin lineaarisiin järjestelmiin, SVD tarjoaa enemmän tietoa matriisin rakenteesta ja vakaudesta.

Related Tools You Might Find Useful