Suuntaisderivaatta Laskin

Kategoria: Laskenta
- toukokuu 15, 2025
| |

Laske funktion suuntaderivaatta tietyssä pisteessä annetun vektorin suuntaan. Syötä monimuuttujafunktio ja määritä piste ja suunta-vektori laskeaksesi, kuinka funktio muuttuu tuossa suunnassa.

Funktio Syöte

Piste ja Suunta

Näyttöasetukset

Tietoa Suuntaderivaatasta

Suuntaderivaatta kuvaa funktion muutoksen nopeutta tietyssä suunnassa. Se yleistää osittaisderivaatan käsitteen, joka mittaa muutosta vain koordinaattiakseilla.

Keskeiset Käsitteet
  • Gradientti (∇f): Vektori, joka sisältää kaikki funktion osittaisderivaatat, osoittaen jyrkimmän nousun suuntaan.
  • Yksikkö Vektori (û): Normaalisoitu versio suunta-vektorista, jonka suuruus on 1.
  • Suuntaderivaatan Kaava: Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û, missä · tarkoittaa pistetuloa.
  • Tulkinta: Mittaa kuinka nopeasti funktio muuttuu siirryttäessä pisteestä määritettyyn suuntaan.
Sovellukset
  • Optimointi: Suurimman kasvun/pienemisen suuntien etsiminen.
  • Fysiikka: Muutosnopeuksien laskeminen tietyissä suunnissa (lämpövirta, sähkökentät).
  • Tietokonegrafiikka: Pinnan analyysi ja renderöinti.
  • Koneoppiminen: Gradienttipohjaiset optimointialgoritmit.

Mikä on suuntaderivaatta?

Suuntaderivaatta mittaa, kuinka funktio muuttuu, kun liikutaan tietyssä suunnassa annetusta pisteestä. Se laajentaa osittaisderivaatan käsitettä tarkastelemalla vektorisuuntaa sen sijaan, että keskittyisi pelkästään yksittäisiin muuttujiiin, kuten x tai y.

  • Yksinkertaisesti sanottuna se laskee funktion f(x, y, z) muutoksen nopeuden tietyssä pisteessä tietyssä suunnassa.
  • Se merkitään matemaattisesti seuraavasti:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Tässä: - ∇f on funktion gradienttivektori, joka sisältää osittaisderivaatat kaikista muuttujista. - v̂ on normalisoitu (yksikköpituinen) suuntavektori.

  • Suuntaderivaatan tulos on yksittäinen luku, joka kertoo, onko funktio kasvava, laskeva vai vakio annetussa suunnassa.

Suuntaderivaatan laskurin keskeiset ominaisuudet

  • Dynaaminen syöttö: Syötä mikä tahansa monimuuttujafunktio, arviointipiste ja suuntavektori.
  • Askel askeleelta -selitys: Laskuri tarjoaa yksityiskohtaisia vaiheita, jotka näyttävät, kuinka gradientti ja suuntaderivaatta lasketaan.
  • Graafinen visualisointi: Graafi näyttää funktion käyttäytymisen suuntavektorin varrella.
  • Sisäänrakennetut esimerkit: Testaa työkalua nopeasti annetuilla esimerkeillä yleisistä funktioista.

Kuinka käyttää suuntaderivaatan laskuria

Syöttökentät:

  1. Syötä funktio: Määritä monimuuttujafunktio, kuten x^2 + y^2 + z^2 tai sin(x) * cos(y).
  2. Arviointipiste: Anna piste, jossa derivaatta arvioidaan (esim. 1,1,1).
  3. Suuntavektori: Syötä vektori, jossa derivaatta lasketaan (esim. 1,2,3).

Esimerkit alasvetovalikosta:

  • Valitse ennalta määritelty esimerkki täyttääksesi kentät automaattisesti:
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 pisteessä (1, 1, 1) suunnassa v = (1, 1, 1).
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) pisteessä (0, 0) suunnassa v = (1, 1).
  • f(x, y) = e^(x + y) pisteessä (1, 2) suunnassa v = (0, 1).

Painikkeet:

  • Laske: Suorita laskenta ja näytä tulokset, vaiheet ja graafi.
  • Tyhjennä: Nollaa kaikki syöttökentät ja tulokset.

Esimerkin läpikäynti: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Syöttö:

  • Funktio: sin(x) * cos(y)
  • Piste: (0, 0)
  • Suuntavektori: (1, 1)

Laskenta:

  1. Laske gradienttivektori:
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. Arvioi pisteessä (0, 0):

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. Normalisoi suuntavektori (1, 1):

  8. Yksikkövektori: v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. Laske suuntaderivaatta: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Tulos:

  • Suuntaderivaatta: 1/√2

Visualisointi:

  • Graafi näyttää funktion käyttäytymisen suuntavektorin varrella annetusta pisteestä.

Laskurin käytön edut

  • Tehokkuus: Automaattisesti toistuvat manuaaliset differentiaatiot ja arvioinnit.
  • Selkeys: Selittää prosessin vaihe vaiheelta, ihanteellinen oppimiseen tai vahvistamiseen.
  • Monipuolisuus: Käsittelee kahta tai kolmea muuttujaa ja laskee derivaatat missä tahansa suunnassa.

Milloin käyttää suuntaderivaatan laskuria

  • Matematiikka ja fysiikka: Analysoi gradientteja ja muutoksen nopeuksia monimuuttujafunktioissa.
  • Koneoppiminen ja tekoäly: Arvioi kustannusfunktion käyttäytymistä gradienttisuuntausten varrella.
  • Insinööritiede ja optimointi: Arvioi funktioiden muutoksia tietyissä rajoituksissa tai suunnissa.

Graafinen tuloste

  • Graafi luodaan näyttämään funktion käyttäytyminen suuntavektorin varrella.
  • X-akseli edustaa t:tä, etäisyyttä suuntavektorin varrella.
  • Y-akseli edustaa f(t):tä, funktion arvoa tuolla etäisyydellä.