Suuntaisderivaatta Laskin

Kategoria: Laskenta
- January 21, 2025
| |

Mikä on suuntaderivaatta?

Suuntaderivaatta mittaa, kuinka funktio muuttuu, kun liikutaan tietyssä suunnassa annetusta pisteestä. Se laajentaa osittaisderivaatan käsitettä tarkastelemalla vektorisuuntaa sen sijaan, että keskittyisi pelkästään yksittäisiin muuttujiiin, kuten x tai y.

  • Yksinkertaisesti sanottuna se laskee funktion f(x, y, z) muutoksen nopeuden tietyssä pisteessä tietyssä suunnassa.
  • Se merkitään matemaattisesti seuraavasti:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Tässä: - ∇f on funktion gradienttivektori, joka sisältää osittaisderivaatat kaikista muuttujista. - v̂ on normalisoitu (yksikköpituinen) suuntavektori.

  • Suuntaderivaatan tulos on yksittäinen luku, joka kertoo, onko funktio kasvava, laskeva vai vakio annetussa suunnassa.

Suuntaderivaatan laskurin keskeiset ominaisuudet

  • Dynaaminen syöttö: Syötä mikä tahansa monimuuttujafunktio, arviointipiste ja suuntavektori.
  • Askel askeleelta -selitys: Laskuri tarjoaa yksityiskohtaisia vaiheita, jotka näyttävät, kuinka gradientti ja suuntaderivaatta lasketaan.
  • Graafinen visualisointi: Graafi näyttää funktion käyttäytymisen suuntavektorin varrella.
  • Sisäänrakennetut esimerkit: Testaa työkalua nopeasti annetuilla esimerkeillä yleisistä funktioista.

Kuinka käyttää suuntaderivaatan laskuria

Syöttökentät:

  1. Syötä funktio: Määritä monimuuttujafunktio, kuten x^2 + y^2 + z^2 tai sin(x) * cos(y).
  2. Arviointipiste: Anna piste, jossa derivaatta arvioidaan (esim. 1,1,1).
  3. Suuntavektori: Syötä vektori, jossa derivaatta lasketaan (esim. 1,2,3).

Esimerkit alasvetovalikosta:

  • Valitse ennalta määritelty esimerkki täyttääksesi kentät automaattisesti:
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 pisteessä (1, 1, 1) suunnassa v = (1, 1, 1).
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) pisteessä (0, 0) suunnassa v = (1, 1).
  • f(x, y) = e^(x + y) pisteessä (1, 2) suunnassa v = (0, 1).

Painikkeet:

  • Laske: Suorita laskenta ja näytä tulokset, vaiheet ja graafi.
  • Tyhjennä: Nollaa kaikki syöttökentät ja tulokset.

Esimerkin läpikäynti: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Syöttö:

  • Funktio: sin(x) * cos(y)
  • Piste: (0, 0)
  • Suuntavektori: (1, 1)

Laskenta:

  1. Laske gradienttivektori:
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. Arvioi pisteessä (0, 0):

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. Normalisoi suuntavektori (1, 1):

  8. Yksikkövektori: v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. Laske suuntaderivaatta: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Tulos:

  • Suuntaderivaatta: 1/√2

Visualisointi:

  • Graafi näyttää funktion käyttäytymisen suuntavektorin varrella annetusta pisteestä.

Laskurin käytön edut

  • Tehokkuus: Automaattisesti toistuvat manuaaliset differentiaatiot ja arvioinnit.
  • Selkeys: Selittää prosessin vaihe vaiheelta, ihanteellinen oppimiseen tai vahvistamiseen.
  • Monipuolisuus: Käsittelee kahta tai kolmea muuttujaa ja laskee derivaatat missä tahansa suunnassa.

Milloin käyttää suuntaderivaatan laskuria

  • Matematiikka ja fysiikka: Analysoi gradientteja ja muutoksen nopeuksia monimuuttujafunktioissa.
  • Koneoppiminen ja tekoäly: Arvioi kustannusfunktion käyttäytymistä gradienttisuuntausten varrella.
  • Insinööritiede ja optimointi: Arvioi funktioiden muutoksia tietyissä rajoituksissa tai suunnissa.

Graafinen tuloste

  • Graafi luodaan näyttämään funktion käyttäytyminen suuntavektorin varrella.
  • X-akseli edustaa t:tä, etäisyyttä suuntavektorin varrella.
  • Y-akseli edustaa f(t):tä, funktion arvoa tuolla etäisyydellä.