Simpsonin sääntö -laskin

Kategoria: Laskenta

- heinäkuu 13, 2025

| |

Laske määriteltyjä integraaleja numeerisesti Simpsonin säännön avulla. Tämä laskin arvioi funktion integraalin määritellyllä välin sovittamalla parabolisia kaaria tasavälisten pisteiden läpi.

Integraatioparametrit

Integroitava funktio:

Käytä x:tä muuttujana. Matematiikkafunktiot: sin, cos, tan, log, sqrt, jne.

Alaraja (a):

Yläraja (b):

Välin määrä (n):

Sen on oltava parillinen luku Simpsonin säännölle

Visualisointivaihtoehdot

Näytä funktion kuvaaja

Näytä approksimaatioalueet

Ymmärtäminen Simpsonin säännöstä

Simpsonin sääntö on numeerinen approksimaatiomenetelmä määritellyille integraaleille. Se approksimoi funktion kvadraattipolynomeilla, mikä tarjoaa paremman tarkkuuden kuin yksinkertaisemmat menetelmät, kuten trapetsimenetelmä.

Kaava

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Missä:

h = (b - a) / n on jokaisen alavälin leveys
n on alavälin määrä (on oltava parillinen)
x_i = a + i·h ovat tasaisesti jakautuneet pisteet

Virheterm

Simpsonin säännöllä on virheterm O(h⁵), mikä tarkoittaa, että virhe on suhteessa h⁴:ään. Tarkemmin:

\text{Virhe} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Missä f⁽⁴⁾(ξ) on f:n neljäs derivaatta jossain pisteessä ξ, joka on a:n ja b:n välillä.

Vertailu muihin menetelmiin

Keskipisteen sääntö: Virhe on O(h³), vähemmän tarkka kuin Simpsonin sääntö
Trapetsimenetelmä: Virhe on O(h³), vähemmän tarkka kuin Simpsonin sääntö
Simpsonin 3/8 sääntö: Samankaltainen tarkkuus kuin Simpsonin sääntö
Gaussin kvadratuuri: Tarkempi tietyille funktioluokille

Vastuuvapauslauseke: Tämä laskin tarjoaa numeerisia approksimaatioita, jotka saattavat sisältää virheitä, erityisesti funktioille, joilla on singulariteetteja tai nopeita värähtelyjä. Varmista aina tärkeät tulokset vaihtoehtoisilla menetelmillä tai analyyttisilla ratkaisuilla, kun se on mahdollista.

Mikä on Simpsonin säännön laskin?

Simpsonin säännön laskin on interaktiivinen työkalu, joka arvioi määritellyn integraalin arvon. Sen sijaan, että ratkaisisit monimutkaisia integraaleja käsin, tämä laskin soveltaa luotettavaa numeerista menetelmää käyrän alla olevan alueen arvioimiseksi, jota kutsutaan Simpsonin säännöksi. Se on erityisen hyödyllinen funktioille, joita on vaikea tai mahdotonta integroida analyyttisesti.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Tämä menetelmä jakaa välin parilliseen määrään osia ja sovittaa paraabeleja funktion graafin pisteiden läpi. Se tarjoaa paremman tarkkuuden kuin trapetsimenetelmä tai keskikohtamenetelmä.

Miksi käyttää sitä?

Olitpa opiskelija, opettaja, insinööri tai utelias oppija, Simpsonin säännön laskin auttaa sinua:

Arvioimaan määriteltyjä integraaleja nopeasti
Visualisoimaan, miten käyrän alla oleva alue arvioidaan
Ymmärtämään, miten välin määrän muuttaminen vaikuttaa
Suorittamaan virheanalyysiä ja tarkastelemaan konvergenssikäyttäytymistä

Se täydentää myös muita työkaluja, kuten Integraalilaskinta määriteltyjen tai määrittelemättömien integraalien ratkaisemiseen ja Antiderivaattilaskinta antiderivaattojen löytämiseen. Jos työskentelet monimuuttujafunktioiden kanssa, tutustu Osittaisderivaattilaskimeen osittaisderivaattojen laskemiseksi tai monimuuttujaderivoinnin analysoimiseksi.

Kuinka käyttää laskinta

Seuraa näitä yksinkertaisia vaiheita saadaksesi tarkan arvion määritellystä integraalistasi:

Syötä integroimasi funktio syöttöruutuun (käytä x muuttujana).
Aseta integraalivälin alaraja ja yläraja.
Valitse välin määrä (sen on oltava parillinen luku).
Valinnaisesti, ota käyttöön funktion piirtäminen ja arviointivisualisoinnit.
Napsauta "Laske integraali" nähdäksesi tuloksen, kaavion ja erittelyn.

Voit nollata laskimen milloin tahansa käyttämällä "Nollaa" -painiketta.

Yleiset käyttötapaukset

Käytä Simpsonin säännön laskinta:

Arvioimaan käyrien alla olevaa aluetta, kun tarkka integraali on vaikea laskea
Vertailuun numeeristen tulosten ja tarkkojen ratkaisujen välillä integraaliratkaisijalta
Analysoimaan konvergenssia lisäämällä välejä
Saat ymmärrystä virhekäyttäytymisestä eri välin määrillä

Se on erityisen kätevä työn tarkistamiseen tai tulosten täydentämiseen työkaluista, kuten Toisen derivaatan laskin tai Suuntaavan derivaatan laskin monimuuttujan analyysissä.

UKK

Q: Mitä tyyppisiä funktioita voin syöttää?
Mikä tahansa funktio, joka käyttää x muuttujana. Yleisiä lausekkeita ovat polynomit, trigonometriset funktiot, eksponentit ja logaritmit. Esimerkiksi: x^2 + sin(x).

Q: Miksi välin määrän on oltava parillinen?
Simpsonin sääntö perustuu paraabeleiden sovittamiseen välin parien yli. Pariton määrä välejä rikkoisi tämän parituksen.

Q: Kuinka tarkka tämä menetelmä on?
Simpsonin sääntö on erittäin tarkka sileille funktioille ja paranee lisäämällä välejä. Laskin näyttää myös virhe- ja konvergenssitiedot.

Q: Entä jos funktio on määrittelemätön jossain kohdassa?
Vältä funktioita, joilla on singulariteetteja tai katkoja välin sisällä. Nämä voivat aiheuttaa epätarkkoja tuloksia tai arviointivirheitä.

Lopuksi

Tämä laskin on hyödyllinen kumppani laskentatoimen opiskelussa ja todellisten ongelmien ratkaisemisessa, jotka liittyvät integraatioon. Se on osa laajempaa matemaattisten työkalujen kokoelmaa, kuten Derivaattilaskin, Käänteinen derivaattilaskin ja Raja-arvolaskin, jotka helpottavat edistyneiden matemaattisten käsitteiden oppimista ja soveltamista.