Laplace-muunnos laskin

Kategoria: Laskenta
- huhtikuu 07, 2025
| |

Laske Laplace- ja käänteislaplace-muunnoksia yleisille funktioille ja lausekkeille. Syötä funktiosi t:n (aikadomain) tai s:n (taajuusdomain) mukaan.

Muunnostyyppi

Funktio Syöte

t =

Yleisimmät Muunnokset

Yleisimmät Laplace-muunnosparit

Aikadomain f(t) Taajuusdomain F(s) Ehto

Tietoa Laplace-muunnoksista

Laplace-muunnos on integraalimuunnos, joka muuntaa reaalimuuttujan t (usein aika) funktion kompleksimuuttujaksi s (taajuus). Se muuntaa differentiaaliyhtälöt algebrallisiksi yhtälöiksi, mikä helpottaa niiden ratkaisemista.

Määritelmä

Laplace-muunnos funktiosta f(t) määritellään seuraavasti:

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt

Käänteislaplace-muunnos määritellään seuraavasti:

f(t) = ℒ-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫γ-i∞γ+i∞ est F(s) ds
Keskeiset Ominaisuudet
  • Lineaarisuus: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
  • Differentointi: ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
  • Integrointi: ℒ{∫0t f(τ)dτ} = F(s)/s
  • Siirto: ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
  • Aikaviive: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
Sovellukset
  • Yksinkertaisten ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen
  • Elektronisten piireiden ja ohjausjärjestelmien analyysi
  • Signaalinkäsittely ja järjestelmäanalyysi
  • Mekaaniset värähtelyt ja lämmönsiirto

Mikä on Laplace-muunnoslaskin?

Laplace-muunnoslaskin on käytännöllinen työkalu, joka auttaa käyttäjiä ratkaisemaan Laplace- ja käänteisiä Laplace-muunnoksia. Näitä muunnoksia käytetään funktioiden muuntamiseen aikadomainista taajuusdomainiin—välttämätön tekniikka insinööritieteissä, fysiikassa ja edistyneessä matematiikassa.

Tämä laskin on erityisen hyödyllinen opiskelijoille, opettajille ja ammattilaisille, jotka työskentelevät differentiaaliyhtälöiden, järjestelmäanalyysin tai signaalinkäsittelyn parissa.

Laplace-muunnos:

\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)

Käänteinen Laplace-muunnos:

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)

Kuinka käyttää laskinta

Seuraa näitä yksinkertaisia vaiheita käyttääksesi Laplace-muunnoslaskinta tehokkaasti:

  • Valitse muunnostyyppi: Valitse "Laplace-muunnos" (aika → taajuus) tai "Käänteinen Laplace-muunnos" (taajuus → aika).
  • Syötä funktio: Syötä lausekkeesi t:n tai s:n suhteen valitun muunnoksen mukaan.
  • Valinnainen: Määritä numeerinen arvo muuttujalle saadaksesi lasketun tuloksen kyseisessä kohdassa.
  • Valitse tarkkuus: Valitse, kuinka monta desimaalia haluat lopulliseen vastaukseen.
  • Napsauta "Laske muunnos": Työkalu laskee tuloksen ja tarjoaa vaiheittaiset selitykset.

Ominaisuudet, jotka tekevät siitä hyödyllisen

  • Tukee sekä Laplace- että käänteisiä Laplace-muunnoksia
  • Sisältää taulukon yleisistä muunnoksista nopeaa viittausta varten
  • Näyttää ratkaisuvaiheet ja käytetyt muunnosominaisuudet
  • Tarjoaa valinnaisen numeerisen arvioinnin funktion arvoille
  • Erinomainen erilaisten differentiaaliyhtälöiden nopeaan ratkaisemiseen

Miksi käyttää tätä työkalua?

Manuaalinen Laplace-muunnosten laskeminen voi olla aikaa vievää ja virhealtista. Tämä laskin yksinkertaistaa prosessia ja tarjoaa välittömiä tuloksia. Olitpa sitten tutkimassa sähköpiirejä, mekaanisia järjestelmiä tai matemaattisia malleja, tämä työkalu nopeuttaa työskentelyäsi.

Laskin täydentää muita matemaattisia työkaluja, kuten Osittaisderivaattilaskin monimuuttujaderivoinnille, Antiderivaattilaskin antiderivaatan löytämiseksi ja Toisen derivaatan laskin kaarevuuden ja konkaavisuuden analysoimiseksi. Se on osa laajempaa työkalupakkia, joka on hyödyllinen kaikenlaisten ongelmien käsittelyssä, aina funktion raja-arvojen löytämisestä Raja-arvolaskimella integraalien ratkaisemiseen verkossa Integraalilaskimella.

Yleiset käyttötapaukset

  • Tavallisten differentiaaliyhtälöiden (ODE) ratkaiseminen
  • Ohjausjärjestelmien ja piirin vasteiden analysointi
  • Aikadomain käyttäytymisen arviointi taajuusdomainin lausekkeista
  • Insinööri- ja fysiikkasovellukset, jotka liittyvät siirtymä- tai tasapainotilajärjestelmiin

UKK

Q: Mitä tyyppisiä funktioita voin syöttää?

Voit syöttää lausekkeita kuten t^2, sin(3t), e^(-2t) tai 1/s^2. Laskin tunnistaa automaattisesti yleiset muodot tai tarjoaa ohjeita, jos vastaavuutta ei löydy.

Q: Mitä tapahtuu, jos funktiotani ei tunnisteta?

Jos syötteesi ei vastaa tunnettuja muunnoksia, laskin ilmoittaa siitä. Voit viitata käyttöliittymässä olevaan yleisten muunnosten taulukkoon tai yrittää muokata syötettäsi.

Q: Voinko käyttää tätä tarkistaakseni kotitehtäviä tai tehtäviä?

Kyllä, se on ihanteellinen Laplace-muunnosten tulosten tarkistamiseen ja ratkaisuvaiheiden ymmärtämiseen, mikä auttaa vahvistamaan oppimista.

Q: Toimiiko tämä myös käänteisten muunnosten kanssa?

Ehdottomasti. Vaihda vain muunnostyyppi "Käänteinen Laplace-muunnos" ja syötä taajuusdomainin funktio s:n suhteen.

Q: Onko tämä hyödyllinen muiden laskinten rinnalla?

Ehdottomasti. Käytä sitä yhdessä työkalujen, kuten Implisiittisen derivaatan laskin, Keskiarvolauseen laskin tai Jacobian laskin kanssa kattamaan laaja valikoima laskentatehtäviä ja järjestelmäanalyysiongelmia.

Yhteenveto

Laplace-muunnoslaskin on hyödyllinen, helppokäyttöinen työkalu kaikille, jotka tarvitsevat nopeita ja tarkkoja muunnostuloksia. Olitpa sitten yrittämässä ratkaista Laplace-yhtälöitä, analysoida järjestelmän käyttäytymistä tai yksinkertaistaa differentiaaliyhtälöitä, se tarjoaa selkeitä tuloksia ja selityksiä. Käytä sitä yhdessä muiden laskinten, kuten Suuntaavan derivaatan laskin tai Funktion keskiarvoarvon laskin kanssa käsitelläksesi vielä enemmän matemaattisia ongelmia luottavaisin mielin.