Käänteisen Derivaatan Laskin

Kategoria: Laskenta
- toukokuu 15, 2025
| |

Etsi funktion antiderivaatta (määrittelemätön integraali). Tämä laskin auttaa sinua määrittämään alkuperäisen funktion sen derivaatasta.

Syötä Funktio

Näyttöasetukset

Tietoa Antiderivaatasta ja Integraatiosta

Antiderivaatta (tai määrittelemätön integraali) funktion f(x) on funktio F(x), jonka derivaatta on f(x). Toisin sanoen, jos F'(x) = f(x), niin F(x) on f(x):n antiderivaatta.

Antiderivaatan Keskeiset Ominaisuudet
  • Jos F(x) on f(x):n antiderivaatta, niin F(x) + C on myös antiderivaatta, missä C on mikä tahansa vakio
  • Antiderivaatan summa on antiderivaattojen summa: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Vakiokerroin sääntö: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, missä k on vakio
  • Voiman sääntö: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, missä n ≠ -1
  • e^x:n integraali: ∫e^x dx = e^x + C
  • 1/x:n integraali: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Integraation Sovellukset

Antiderivaatalla ja integraatiolla on lukuisia sovelluksia:

  • Käyrien ja käyrien välisten alueiden löytämisessä
  • Kolmiulotteisten objektien tilavuuksien laskemisessa
  • Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa
  • Fysiikan sovellukset: työ, energia ja liike
  • Todennäköisyys ja tilastot
  • Insinööritiede: jännitysanalyysi, fluididynamiikka jne.

Mikä on käänteinen derivaatta?

Käänteinen derivaatta auttaa laskemaan annetun funktion käänteisen derivaatan. Funktion ( f(x) ) käänteisen derivaatta, ( f^{-1}(x) ), määritellään kaavalla:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Tämä kaava syntyy suhteesta ( f(f^(-1)(x)) = x ). Derivoimalla molemmat puolet ( x ):n suhteen saamme:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

Ratkaisemalla ( (f^(-1)(x))' ) saamme:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Tämä käsite on erityisen hyödyllinen laskennassa analysoitaessa, kuinka nopeasti käänteinen funktio muuttuu tietyssä pisteessä.

Käänteisen Derivaatan Laskimen Ominaisuudet

  • Yksityiskohtaiset Vaiheet: Syötä funktio ja ( x )-arvo nähdäksesi yksityiskohtaisen vaiheittaisen ratkaisun.
  • Esimerkkifunktiot: Testaa laskinta esiladatuilla funktioilla, kuten ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ) tai ( f(x) = ln(x) ).
  • Graafinen Visualisointi: Laskin piirtää sekä funktion että sen käänteisen derivaatan.

Kuinka Käyttää Käänteisen Derivaatan Laskinta

  1. Syötä Funktio: Syötä funktio ( f(x) ), jonka käänteistä derivaattaa haluat laskea. Esimerkiksi: x^2 + 1 tai e^x.
  2. Määritä ( x )-arvo: Syötä piste, jossa haluat laskea käänteisen funktion derivaatan.
  3. Napsauta Laske: Katso tulos yhdessä laskennan yksityiskohtaisen selityksen kanssa.
  4. Tutki Esiladattuja Esimerkkejä: Käytä avattavaa valikkoa kokeillaksesi esimerkkifunktioita ja nähdäksesi, kuinka laskin toimii.

Esimerkkikävely

Oletetaan, että haluat laskea käänteisen derivaatan ( f(x) = x^2 + 1 ) kohdassa ( x = 2 ):

  1. Funktion ( f(x) ) derivaatta on:

( f'(x) = 2 * x )

  1. Arvioi ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Käyttäen käänteisen derivaatan kaavaa:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Kohdassa ( x = 2 ) käänteinen derivaatta on:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Käänteisen Derivaatan Laskimen Avainhyödyt

  • Laske nopeasti käänteiset derivaatat monimutkaisista funktioista.
  • Visualisoi funktio ja sen käänteinen derivaatta interaktiivisella graafilla.
  • Ymmärrä prosessi vaiheittaisilla ratkaisuilla.