Divergenssilaskin

Divergenssilaskin: Selitys ja käyttöopas

Divergenssilaskin on interaktiivinen työkalu, joka on suunniteltu laskemaan kolmiulotteisen vektorikentän divergenssi. Se tarjoaa intuitiivisen tavan laskea ja visualisoida vektorikentän divergenssiä ( \mathbf{F}(x, y, z) ), tarjoten sekä symbolisen esityksen divergenssista että sen arvioinnin tietyissä pisteissä. Lisäksi työkalu luo graafisen visualisoinnin vektorikentästä auttaakseen käyttäjiä saamaan syvempää ymmärrystä sen käyttäytymisestä.

Mikä on divergenssi?

Divergenssi on skalaarinen suure, joka mittaa sitä, kuinka nopeasti vektorikenttä leviää tai kokoontuu tietyssä pisteessä. Matemaattisesti vektorikentän ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) divergenssi on annettu seuraavasti:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Jos divergenssi on positiivinen, vektorikenttä leviää kyseisessä pisteessä.
• Jos divergenssi on negatiivinen, vektorikenttä kokoontuu kyseisessä pisteessä.
• Jos divergenssi on nolla, kenttää sanotaan olevan solenoidinen kyseisessä pisteessä.

Tämä laskin tarjoaa sekä symbolisen divergenssin että mahdollisuuden arvioida sitä numeerisesti tietyissä pisteissä.

Divergenssilaskimen ominaisuudet

• Symbolinen divergenssi: Laskee automaattisesti vektorikentän komponenttien osittaisderivaatat ja rakentaa divergenssiyhtälön.
• Pistearviointi: Arvioi divergenssin numeerisesti tietyssä pisteessä ( (x, y, z) ).
• Graafinen visualisointi: Näyttää 3D-esityksen vektorikentästä käyttäen Plotlyn interaktiivisia 3D-visualisointimahdollisuuksia.
• Pudotusvalikkoesimerkit: Lataa nopeasti ennalta määriteltyjä vektorikenttäesimerkkejä tutkimista varten.
• Virheiden käsittely: Varmistaa, että virheelliset tai puutteelliset syötteet käsitellään sujuvasti.

Kuinka käyttää divergenssilaskinta

Seuraa näitä yksinkertaisia vaiheita käyttääksesi laskinta tehokkaasti:

1. Syötä vektorikenttä:
2. Syötä vektorikentän ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) ja ( R(x, y, z) ) komponentit vastaaviin syöttökenttiin.

3. Esimerkiksi:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Valitse esimerkki:

5. Käytä pudotusvalikkoa ladataksesi ennalta määriteltyjä vektorikenttäesimerkkejä.

6. Määritä arviointipiste (valinnainen):

7. Jos haluat arvioida divergenssia tietyssä pisteessä, syötä ( x ), ( y ) ja ( z ) vastaaviin kenttiin.

8. Napsauta "Laske":

9. Laskin:

   • Laskee symbolisen divergenssin.
   • Arvioi divergenssin määritetyssä pisteessä (jos annettu).
   • Näyttää vaiheittaisen erittelyn laskennasta.
   • Luo 3D-visualisoinnin vektorikentästä.

10. Tyhjennä syötteet:

11. Käytä "Tyhjennä"-painiketta nollataksesi laskimen.

Esimerkin läpikäynti

Esimerkkivektorikenttä:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Syötä komponentit:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Napsauta "Laske." Laskin:

6. Laskee osittaisderivaatat:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Yhdistää ne löytääkseen: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Jos arviointipisteet ( (x=1, y=1, z=0) ) annetaan, tulos arvioidaan seuraavasti: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualisoi 3D-vektorikenttä, joka luodaan graafille.

UKK

1. Mitkä syöteformaatit ovat tuettuja vektorikentän komponenteille?

Laskin tukee funktioita, jotka ovat riippuvaisia ( x ):stä, ( y ):stä ja ( z ):stä. Esimerkkejä ovat: - Polynomifunktiot: ( x^2, y^2 + z ) - Trigonometristen funktioiden: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Eksponenttifunktiot: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Mitä tapahtuu, jos en anna arviointipistettä?

Jos arviointipistettä ei ole määritetty, laskin näyttää vain symbolisen divergenssiyhtälön.

3. Voinko käyttää tätä laskinta 2D-vektorikentille?

Kyllä, jätä vain ( R(x, y, z) ) komponentti tyhjäksi tai aseta se nollaksi.

4. Miten 3D-vektorikenttävisualisointi luodaan?

Laskin käyttää Plotlyä luodakseen interaktiivisen 3D-vektorikenttäkaavion. Jokainen nuoli edustaa kentän suuntaa ja suuruutta tietyssä pisteessä.

5. Entä jos syötteessäni on virhe?

Laskin tarkistaa virheitä, kuten puuttuvia komponentteja tai virheellisiä lausekkeita. Kuvastava virheilmoitus ohjaa sinua korjaamaan ongelman.

Yhteenveto

Divergenssilaskin yksinkertaistaa vektorikenttien analysointiprosessia automatisoimalla divergenssin laskemisen ja tarjoamalla selkeän visuaalisen esityksen. Olitpa opiskelija, opettaja tai ammattilainen, tämä työkalu on täydellinen tapa saada ymmärrystä vektorikenttien käyttäytymisestä 3D-tilassa. Aloita tutkiminen nyt, jotta voit avata tämän tehokkaan laskimen täyden potentiaalin!